与えられた連立一次方程式を解き、$x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。方程式は行列形式で与えられています。 $\begin{bmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 4 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -28 \\ 6 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、$x$, $y$, $z$ の値を求める問題です。方程式は行列形式で与えられています。

$\begin{bmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 4 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -28 \\ 6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

上記の行列形式から、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align} \label{eq:1} 5x + 4y &= 4 \\ 5y + 4z &= -28 \\ 4x + 5z &= 6 \end{align}

(\ref{eq:1})式から $x$ を求めます。

$5x = 4 - 4y$

$x = \frac{4 - 4y}{5}$

$x$を第三式に代入します。

$4 (\frac{4 - 4y}{5}) + 5z = 6$

$\frac{16 - 16y}{5} + 5z = 6$

$16 - 16y + 25z = 30$

$-16y + 25z = 14$

これで、$y$ と $z$ だけの方程式が2つできました。

\begin{align} 5y + 4z &= -28 \\ -16y + 25z &= 14 \end{align}

第一式を16倍、第二式を5倍します。

\begin{align} 80y + 64z &= -448 \\ -80y + 125z &= 70 \end{align}

二つの式を足し合わせます。

$189z = -378$

$z = -2$

$z$ を $5y + 4z = -28$ に代入します。

$5y + 4(-2) = -28$

$5y - 8 = -28$

$5y = -20$

$y = -4$

$y$ を $x = \frac{4 - 4y}{5}$ に代入します。

$x = \frac{4 - 4(-4)}{5}$

$x = \frac{4 + 16}{5}$

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

3. 最終的な答え

$x = 4$

$y = -4$

$z = -2$

したがって、

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix}$