(1) 放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接するとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (2) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $y = x^2 - 8x + 9$ のグラフと点 $(1, -5)$ に関して対称であるとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接するとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(2) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $y = x^2 - 8x + 9$ のグラフと点 $(1, -5)$ に関して対称であるとき、$a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = 3x^2 + 2ax + a$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、

$y - b = 3(x - a)^2 + 2a(x - a) + a$

$y = 3(x^2 - 2ax + a^2) + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 6ax + 3a^2 + 2ax - 2a^2 + a + b$

$y = 3x^2 - 4ax + a^2 + a + b$

この放物線が点 $(-2, 0)$ で $x$ 軸と接するので、$y = 3(x+2)^2 = 3x^2 + 12x + 12$ となる。

したがって、

$-4a = 12$

$a^2 + a + b = 12$

よって、$a = -3$

$(-3)^2 + (-3) + b = 12$

$9 - 3 + b = 12$

$6 + b = 12$

$b = 6$

(2)

$y = x^2 - 8x + 9$ の頂点を求める。

$y = (x - 4)^2 - 16 + 9$

$y = (x - 4)^2 - 7$

頂点は $(4, -7)$

$y = ax^2 + bx + c$ の頂点を求める。

2つのグラフが点 $(1, -5)$ に関して対称なので、頂点も $(1, -5)$ に関して対称である。

したがって、$y = ax^2 + bx + c$ の頂点は、$(1, -5)$ から $(4, -7)$ までのベクトルの反ベクトルだけ $(1, -5)$ から移動した点である。

$(4, -7) - (1, -5) = (3, -2)$

$(1, -5) - (3, -2) = (-2, -3)$

したがって、$y = ax^2 + bx + c$ の頂点は $(-2, -3)$

$y = a(x + 2)^2 - 3$

これは $y = x^2 - 8x + 9$ と $(1, -5)$ に関して対称なので、$a = 1$ となる。なぜなら、平行移動と点対称移動では、$x^2$ の係数は変化しないからである。

$y = (x + 2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 4 - 3 = x^2 + 4x + 1$

したがって、$a = 1, b = 4, c = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 6$

(2) $a = 1, b = 4, c = 1$