与えられた4つの式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ (3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ (4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$

(3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

(4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ の場合:

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形を目指します。

$4+2\sqrt{3} = 3+1+2\sqrt{3 \cdot 1}$ より、

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ の場合:

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$ と変形します。

$9+2\sqrt{14} = 7+2+2\sqrt{7 \cdot 2}$ より、

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ の場合:

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{6-2\sqrt{8}}$ と変形します。

$6-2\sqrt{8} = 4+2-2\sqrt{4 \cdot 2}$ より、

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ の場合:

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$と変形します。

$8-2\sqrt{15} = 5+3-2\sqrt{5 \cdot 3}$ より、

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(3) $2-\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$