点A(3, -2), B(4, 1), C(2, -k), D(k, 4) が与えられているとき、直線ABと直線CDが平行となるような実数kの値を求める。

## 問題1：平行条件を満たすkの値を求める

1. 問題の内容

点A(3, -2), B(4, 1), C(2, -k), D(k, 4) が与えられているとき、直線ABと直線CDが平行となるような実数kの値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルABとベクトルCDを計算する。

$AB = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$

$CD = (k-2, 4-(-k)) = (k-2, 4+k)$

ABとCDが平行である条件は、CD = tABとなる実数tが存在することである。

つまり、$k-2 = t$ かつ $4+k = 3t$ が成り立つ。

第一の式から $t = k-2$。これを第二の式に代入すると、$4+k = 3(k-2)$。

$4+k = 3k - 6$

$2k = 10$

$k = 5$

3. 最終的な答え

k = 5

## 問題2：垂直条件の証明

1. 問題の内容

|$a$| = √6, |$b$| = 2, $a$・$b$ = -3 のとき、$a$ + $b$ と $a$ - 3$b$ が垂直であることを証明する。

2. 解き方の手順

ベクトル$a$ + $b$ と $a$ - 3$b$ が垂直であるための条件は、内積が0になることである。

$(a + b) ・ (a - 3b) = a・a - 3(a・b) + b・a - 3(b・b)$

$= |a|^2 - 2(a・b) - 3|b|^2$

与えられた条件を代入する。

$= (√6)^2 - 2(-3) - 3(2)^2$

$= 6 + 6 - 12 = 0$

したがって、$a$ + $b$ と $a$ - 3$b$ は垂直である。

3. 最終的な答え

($a$ + $b$) ・ ($a$ - 3$b$) = 0 であるため、$a$ + $b$ と $a$ - 3$b$ は垂直である。

## 問題3：垂直となるkの値を求める

1. 問題の内容

ベクトル $a$ = (4, -3) と $b$ = (2k, k+1) が垂直となるような実数kの値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $a$ と $b$ が垂直である条件は、内積が0になることである。

$a・b = 4(2k) + (-3)(k+1) = 0$

$8k - 3k - 3 = 0$

$5k = 3$

$k = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{3}{5}$