(1) 関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が10であるように、定数 $c$ の値を定める。 (2) 関数 $f(x) = -x^2 + 4x + c$ ($-4 \le x \le 4$) の最小値が-50であるように、定数 $c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が10であるように、定数 $c$ の値を定める。

(2) 関数 $f(x) = -x^2 + 4x + c$ ($-4 \le x \le 4$) の最小値が-50であるように、定数 $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 10x + c = (x - 5)^2 - 25 + c$

軸は $x = 5$ で、定義域 $3 \le x \le 8$ の範囲に含まれている。

$f(x)$ は下に凸な放物線であるため、$x = 3$ または $x = 8$ で最大値をとる。

$f(3) = 3^2 - 10 \cdot 3 + c = 9 - 30 + c = -21 + c$

$f(8) = 8^2 - 10 \cdot 8 + c = 64 - 80 + c = -16 + c$

$f(3) < f(8)$ なので、$x = 3$ で最大値をとらない。したがって、$x = 8$ で最大値をとる。

$f(8) = -16 + c = 10$

$c = 26$

(2)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -x^2 + 4x + c = -(x^2 - 4x) + c = -(x - 2)^2 + 4 + c$

軸は $x = 2$ で、定義域 $-4 \le x \le 4$ の範囲に含まれている。

$f(x)$ は上に凸な放物線であるため、$x = -4$ または $x = 4$ で最小値をとる。

$f(-4) = -(-4)^2 + 4 \cdot (-4) + c = -16 - 16 + c = -32 + c$

$f(4) = -(4)^2 + 4 \cdot 4 + c = -16 + 16 + c = c$

$f(-4) < f(4)$ なので、$x = -4$ で最小値をとる。

$f(-4) = -32 + c = -50$

$c = -18$

3. 最終的な答え

(1) $c = 26$

(2) $c = -18$