問題は2つあります。 * 1つ目の問題は、$2^{100}$ は何桁の数かという問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。 * 2つ目の問題は、$3^n$ が8桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよという問題です。ただし、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 1つ目の問題は、$2^{100}$ は何桁の数かという問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

* 2つ目の問題は、$3^n$ が8桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよという問題です。ただし、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

* 1つ目の問題

ある数 $N$ の桁数は、$\log_{10} N$ の整数部分に1を加えたものです。$\log_{10} 2^{100}$ を計算します。

$$\log_{10} 2^{100} = 100 \log_{10} 2 = 100 \times 0.3010 = 30.10$$

整数部分は30なので、桁数は $30 + 1 = 31$ となります。

* 2つ目の問題

$3^n$ が8桁の数であるとは、$10^7 \le 3^n < 10^8$ であるということです。

各辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} 10^7 \le \log_{10} 3^n < \log_{10} 10^8$$

$$7 \le n \log_{10} 3 < 8$$

$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$$7 \le 0.4771 n < 8$$

各辺を0.4771で割ると、

$$\frac{7}{0.4771} \le n < \frac{8}{0.4771}$$

$$14.67 \le n < 16.77$$

$n$ は自然数なので、$n = 15, 16$ となります。

3. 最終的な答え

* 1つ目の問題の答え: $2^{100}$ は31桁の数です。

* 2つ目の問題の答え: $n = 15, 16$