数列 $x, 12, y$ は等比数列であり、数列 $68, y, x$ は等差数列である。$0 < x < y$ のとき、$x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $x, 12, y$ は等比数列であり、数列 $68, y, x$ は等差数列である。$0 < x < y$ のとき、$x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x, 12, y$ が等比数列であることから、次の関係式が得られる。

$$12^2 = xy$$

$$144 = xy$$

次に、$68, y, x$ が等差数列であることから、次の関係式が得られる。

$$2y = 68 + x$$

上記の2つの式から、$x$ と $y$ の値を求める。

まず、2番目の式を変形して、$x$ を $y$ で表す。

$$x = 2y - 68$$

この式を1番目の式に代入する。

$$144 = (2y - 68)y$$

$$144 = 2y^2 - 68y$$

$$2y^2 - 68y - 144 = 0$$

$$y^2 - 34y - 72 = 0$$

上記の2次方程式を解く。

$$(y - 36)(y + 2) = 0$$

$y = 36$ または $y = -2$

$0 < x < y$ より、$y > 0$ なので、$y = 36$。

$x = 2y - 68$ に $y = 36$ を代入する。

$x = 2(36) - 68 = 72 - 68 = 4$

$x = 4$ と $y = 36$ が条件 $0 < x < y$ を満たしていることを確認する。

$0 < 4 < 36$ は正しい。

3. 最終的な答え

$x = 4$

$y = 36$