与えられた2次関数について、頂点の座標、軸の方程式、y軸との交点の座標を求める問題です。具体的には以下の3つの関数について解く必要があります。 (3) $y = -x^2 + 4x - 2$ (4) $y = 3x^2 + 5x + 4$ (5) $y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 2$

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、頂点の座標、軸の方程式、y軸との交点の座標を求める問題です。具体的には以下の3つの関数について解く必要があります。

(3) $y = -x^2 + 4x - 2$

(4) $y = 3x^2 + 5x + 4$

(5) $y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 2$

2. 解き方の手順

一般に、2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ (ただし、$a \neq 0$) に対して、以下の手順で解きます。

(1) 平方完成を行い、関数の式を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。

(2) 頂点の座標は $(p, q)$ となります。

(3) 軸の方程式は $x = p$ となります。

(4) y軸との交点の座標は、元の関数に $x=0$ を代入して得られます。

(3) $y = -x^2 + 4x - 2$

$y = -(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2 = -(x-2)^2 + 4 - 2 = -(x-2)^2 + 2$

頂点の座標: $(2, 2)$

軸の方程式: $x = 2$

y軸との交点: $x=0$ を代入すると $y = -0^2 + 4(0) - 2 = -2$。よって、座標は $(0, -2)$.

(4) $y = 3x^2 + 5x + 4$

$y = 3(x^2 + \frac{5}{3}x) + 4 = 3(x^2 + \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2) + 4 = 3(x + \frac{5}{6})^2 - 3(\frac{25}{36}) + 4 = 3(x + \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{12} + \frac{48}{12} = 3(x + \frac{5}{6})^2 + \frac{23}{12}$

頂点の座標: $(-\frac{5}{6}, \frac{23}{12})$

軸の方程式: $x = -\frac{5}{6}$

y軸との交点: $x=0$ を代入すると $y = 3(0)^2 + 5(0) + 4 = 4$。よって、座標は $(0, 4)$.

(5) $y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 2$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 8x) - 2 = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16 - 16) - 2 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 8 - 2 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 10$

頂点の座標: $(-4, -10)$

軸の方程式: $x = -4$

y軸との交点: $x=0$ を代入すると $y = \frac{1}{2}(0)^2 + 4(0) - 2 = -2$。よって、座標は $(0, -2)$.

3. 最終的な答え

(3)

頂点の座標: $(2, 2)$

軸の方程式: $x = 2$

y軸との交点の座標: $(0, -2)$

(4)

頂点の座標: $(-\frac{5}{6}, \frac{23}{12})$

軸の方程式: $x = -\frac{5}{6}$

y軸との交点の座標: $(0, 4)$

(5)

頂点の座標: $(-4, -10)$

軸の方程式: $x = -4$

y軸との交点の座標: $(0, -2)$