複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されるとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。 (1) $z^2$ (2) $2\overline{z}$ (3) $-\frac{1}{z}$ (4) $\frac{1}{z}$ (5) $-i\overline{z}$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されるとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。

(1) $z^2$

(2) $2\overline{z}$

(3) $-\frac{1}{z}$

(4) $\frac{1}{z}$

(5) $-i\overline{z}$

2. 解き方の手順

(1) $z^2$ の場合

$z^2 = (r(\cos\theta + i\sin\theta))^2 = r^2 (\cos\theta + i\sin\theta)^2$

ド・モアブルの定理より $(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos 2\theta + i\sin 2\theta$

よって $z^2 = r^2 (\cos 2\theta + i\sin 2\theta)$

(2) $2\overline{z}$ の場合

$\overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$2\overline{z} = 2r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(3) $-\frac{1}{z}$ の場合

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{\cos\theta + i\sin\theta} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$-\frac{1}{z} = -\frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = \frac{1}{r} (-\cos(-\theta) - i\sin(-\theta)) = \frac{1}{r} (\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta))$

(4) $\frac{1}{z}$ の場合

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{\cos\theta + i\sin\theta} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(5) $-i\overline{z}$ の場合

$\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$-i = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$

$-i\overline{z} = (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = r(\cos(-\frac{\pi}{2} - \theta) + i\sin(-\frac{\pi}{2} - \theta)) = r(\cos(-(\theta + \frac{\pi}{2})) + i\sin(-(\theta + \frac{\pi}{2})))$

3. 最終的な答え

(1) $z^2 = r^2 (\cos 2\theta + i\sin 2\theta)$

(2) $2\overline{z} = 2r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(3) $-\frac{1}{z} = \frac{1}{r} (\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta))$

(4) $\frac{1}{z} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

(5) $-i\overline{z} = r(\cos(-(\theta + \frac{\pi}{2})) + i\sin(-(\theta + \frac{\pi}{2})))$