問題は、2次関数 $y = -x^2 + 8x + c$ の $1 \le x \le 5$ における最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、2次関数 $y = -x^2 + 8x + c$ の $1 \le x \le 5$ における最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 8x + c$

$y = -(x^2 - 8x) + c$

$y = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + c$

$y = -(x - 4)^2 + 16 + c$

この2次関数は、上に凸の放物線であり、軸は $x = 4$ です。

定義域は $1 \le x \le 5$ なので、軸 $x = 4$ はこの範囲に含まれます。

最小値を考えるために、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 8(1) + c = -1 + 8 + c = 7 + c$

$x = 5$ のとき、$y = -5^2 + 8(5) + c = -25 + 40 + c = 15 + c$

軸 $x=4$ が定義域に含まれているので頂点で最大値をとる。定義域の端点は $x=1, 5$ であるから最小値はどちらかになる。

$y = -(x - 4)^2 + 16 + c$ に $x=1$を代入すると $y = -(1-4)^2 + 16 + c = -9 + 16 + c = 7+c$

$y = -(x - 4)^2 + 16 + c$ に $x=5$を代入すると $y = -(5-4)^2 + 16 + c = -1 + 16 + c = 15+c$

しかし、頂点が定義域に含まれる上に上に凸であることから、$x=1$のときが最小値とならないといけない。$1 \le x \le 5$において、$x=1$のときに最小値$-2$をとる条件より $7+c=-2$。よって $c=-9$となる。

このとき、関数は $y = -(x-4)^2 + 16 - 9 = -(x-4)^2 + 7$。

したがって、最大値は $x = 4$ のときで、 $y = 7$ となります。

3. 最終的な答え

$c = -9$

最大値は $7$