$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k + 3)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた和を、それぞれの項に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k + 3) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

それぞれの和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

これらの公式を代入して、

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) + 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 18n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 18]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 + 18]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 9n + 25]}{6}$

$= \frac{2n^3 + 9n^2 + 25n}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n^3 + 9n^2 + 25n}{6}$