数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n + n + 1$ ( $n=1, 2, 3, \dots$ ) を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $a_1$, $a_2$, $a_3$ を求める。 (2) $a_{n+1}$ を $a_n$ の式で表す。 (3) $a_n$ と $S_n$ をそれぞれ $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n + n + 1$ ( $n=1, 2, 3, \dots$ ) を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $a_1$, $a_2$, $a_3$ を求める。

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ の式で表す。

(3) $a_n$ と $S_n$ をそれぞれ $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$, $a_2$, $a_3$ を求める。

$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ より

$a_1 = 3a_1 + 1 + 1$

$-2a_1 = 2$

$a_1 = -1$

$n=2$ のとき、$S_2 = a_1 + a_2$ より

$a_1 + a_2 = 3a_2 + 2 + 1$

$-1 + a_2 = 3a_2 + 3$

$-2a_2 = 4$

$a_2 = -2$

$n=3$ のとき、$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$ より

$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_3 + 3 + 1$

$-1 - 2 + a_3 = 3a_3 + 4$

$-3 + a_3 = 3a_3 + 4$

$-2a_3 = 7$

$a_3 = -\frac{7}{2}$

(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ の式で表す。

$S_n = 3a_n + n + 1$

$S_{n+1} = 3a_{n+1} + (n+1) + 1 = 3a_{n+1} + n + 2$

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$

$(3a_{n+1} + n + 2) - (3a_n + n + 1) = a_{n+1}$

$3a_{n+1} + n + 2 - 3a_n - n - 1 = a_{n+1}$

$2a_{n+1} = 3a_n - 1$

$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - \frac{1}{2}$

(3) $a_n$ と $S_n$ をそれぞれ $n$ の式で表す。

$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - \frac{1}{2}$

$a_{n+1} - \alpha = \frac{3}{2} (a_n - \alpha)$

$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - \frac{3}{2} \alpha + \alpha$

$\frac{3}{2} \alpha - \alpha = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \alpha = \frac{1}{2}$

$\alpha = 1$

$a_{n+1} - 1 = \frac{3}{2} (a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n$

$b_1 = a_1 - 1 = -1 - 1 = -2$

$b_n = -2 (\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_n - 1 = -2 (\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_n = 1 - 2 (\frac{3}{2})^{n-1}$

$S_n = 3a_n + n + 1$

$S_n = 3(1 - 2(\frac{3}{2})^{n-1}) + n + 1$

$S_n = 3 - 6(\frac{3}{2})^{n-1} + n + 1$

$S_n = n + 4 - 6(\frac{3}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -1$, $a_2 = -2$, $a_3 = -\frac{7}{2}$

(2) $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - \frac{1}{2}$

(3) $a_n = 1 - 2 (\frac{3}{2})^{n-1}$, $S_n = n + 4 - 6(\frac{3}{2})^{n-1}$