与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、$\left(\frac{3+\sqrt{3}i}{2}\right)^{-4}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、$\left(\frac{3+\sqrt{3}i}{2}\right)^{-4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

複素数 $z = \frac{3+\sqrt{3}i}{2}$ を極形式で表し、ド・モアブルの定理を利用して計算します。

ステップ1: $z$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表す。

まず、$z$ の絶対値 $r$ を計算します。

$r = \left|\frac{3+\sqrt{3}i}{2}\right| = \frac{\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{9+3}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

次に、$z$ の偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos\theta = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

よって、$z = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

ステップ2: $z^{-4}$ を計算する。

ド・モアブルの定理より、

$z^{-4} = (\sqrt{3})^{-4} \left( \cos\left(-\frac{4\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{4\pi}{6}\right) \right)$

$= (\sqrt{3})^{-4} \left( \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right)$

$= \frac{1}{9} \left( \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right)$

$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ3: $z^{-4}$ を直交形式に戻す。

$z^{-4} = \frac{1}{9} \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{18} - i\frac{\sqrt{3}}{18}$.

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$