与えられた連立方程式を解いて、$x$ と $y$ の値を求める問題です。連立方程式は次の通りです。 $\begin{cases} \sqrt{2x} - \sqrt{3y} = 5 \\ \sqrt{3x} + \sqrt{2y} = 5 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解いて、$x$ と $y$ の値を求める問題です。連立方程式は次の通りです。

$\begin{cases}

\sqrt{2x} - \sqrt{3y} = 5 \\

\sqrt{3x} + \sqrt{2y} = 5

\end{cases}$

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を解くために、変数を置き換えて解きやすくします。

$\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$ と置くと、与えられた連立方程式は以下のようになります。

$\begin{cases}

\sqrt{2}a - \sqrt{3}b = 5 \\

\sqrt{3}a + \sqrt{2}b = 5

\end{cases}$

1つ目の式に$\sqrt{2}$を、2つ目の式に$\sqrt{3}$を掛けて、$b$の係数の絶対値を揃えます。

$\begin{cases}

2a - \sqrt{6}b = 5\sqrt{2} \\

\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} a + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}b = 3a + \sqrt{6}b = 5\sqrt{3}

\end{cases}$

2つの式を足し合わせると、$b$が消去され、$a$のみの式になります。

$2a - \sqrt{6}b + 3a + \sqrt{6}b = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$

$5a = 5(\sqrt{2} + \sqrt{3})$

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$a$ の値を 1 つ目の式 $\sqrt{2}a - \sqrt{3}b = 5$ に代入して $b$ の値を求めます。

$\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{3}b = 5$

$2 + \sqrt{6} - \sqrt{3}b = 5$

$-\sqrt{3}b = 3 - \sqrt{6}$

$\sqrt{3}b = \sqrt{6} - 3$

$b = \frac{\sqrt{6} - 3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$b = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

ここで $\sqrt{x} = a$, $\sqrt{y} = b$ でしたので、$x=a^2$、$y=b^2$ を計算して $x, y$ の値を求めます。

$x = a^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

$y = b^2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = 5 + 2\sqrt{6}$

$y = 5 - 2\sqrt{6}$