実数 $a$ を係数に持つ3次方程式 $x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ を係数に持つ3次方程式 $x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式の左辺を $f(x)$ とおきます。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + (a-3)x + a$

$f(x)$ を因数分解することを考えます。$x = -1$ を代入すると、

$f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (a-3)(-1) + a = -1 - 2 - a + 3 + a = 0$

したがって、$f(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つことがわかります。そこで、$f(x)$ を $(x+1)$ で割ります。

$f(x) = (x+1)(x^2 - 3x + a)$

与えられた3次方程式が2重解を持つためには、次の2つの場合が考えられます。

(1) $x^2 - 3x + a = 0$ が $x = -1$ を解に持つ場合。

(2) $x^2 - 3x + a = 0$ が重解を持つ場合。

(1)の場合、$x = -1$ を $x^2 - 3x + a = 0$ に代入すると、

$(-1)^2 - 3(-1) + a = 0$

$1 + 3 + a = 0$

$a = -4$

このとき、$x^2 - 3x - 4 = 0$ となり、$(x+1)(x-4) = 0$ なので、$x = -1, 4$。したがって、$x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = (x+1)^2 (x-4) = 0$となり、$x=-1$を重解に持ちます。

(2)の場合、$x^2 - 3x + a = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a = 0$

$4a = 9$

$a = \frac{9}{4}$

このとき、$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$ となり、$(x - \frac{3}{2})^2 = 0$ なので、$x = \frac{3}{2}$。

したがって、$f(x) = (x+1)(x - \frac{3}{2})^2 = 0$となり、$x=\frac{3}{2}$を重解に持ちます。

3. 最終的な答え

$a = -4, \frac{9}{4}$