2次方程式 $x^2 + (a-3)x + 1 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値とその重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (a-3)x + 1 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値とその重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の場合、$a=1$, $b=a-3$, $c=1$ なので、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (a-3)^2 - 4(1)(1) = (a-3)^2 - 4$

重解を持つ条件 $D = 0$ より、

$(a-3)^2 - 4 = 0$

$(a-3)^2 = 4$

$a-3 = \pm 2$

したがって、$a = 3 \pm 2$ より、$a = 5$ または $a = 1$ となります。

$a=5$ のとき、2次方程式は $x^2 + (5-3)x + 1 = x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、$(x+1)^2 = 0$ より、$x = -1$ (重解) となります。

$a=1$ のとき、2次方程式は $x^2 + (1-3)x + 1 = x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ より、$x = 1$ (重解) となります。

3. 最終的な答え

$a=5$ のとき、重解は $x=-1$

$a=1$ のとき、重解は $x=1$