問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は、$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置きます。

すると、$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$ となります。

ここで、$x+y+z = 0$ ならば、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ という恒等式が成り立ちます。

これを示すために、$z = -(x+y)$を $x^3 + y^3 + z^3$ に代入します。

$x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 + (-x-y)^3 = x^3 + y^3 - (x+y)^3 = x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3 = -3x^2y - 3xy^2 = -3xy(x+y) = -3xy(-z) = 3xyz$

したがって、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立ちます。

今回の問題では、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ であり、$x+y+z = 0$ なので、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$