行列に関する問題です。 行列 $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ の2乗が、元の行列の3倍に等しくなる、つまり $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ が成り立つとき、$b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

行列に関する問題です。

行列 $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ の2乗が、元の行列の3倍に等しくなる、つまり $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = 3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ が成り立つとき、$b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}$ の2乗を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2a & a+ab \\ 2+2b & 2a+b^2 \end{pmatrix}$

次に、この結果が $3 \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3a \\ 6 & 3b \end{pmatrix}$ に等しいという条件から、連立方程式を作ります。

$1+2a = 3$

$a+ab = 3a$

$2+2b = 6$

$2a+b^2 = 3b$

最初の式から、$2a = 2$ となり、$a=1$ が得られます。

次に、$2+2b=6$ より、$2b = 4$ となり、$b=2$ が得られます。

最後に、$2a+b^2=3b$ に $a=1$ と $b=2$ を代入すると、$2(1)+2^2 = 2+4 = 6$ であり、$3b = 3(2) = 6$ となるので、これは条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$b = 2$