和が2、積が-1となる2つの数を求めよ。

1. 問題の内容

和が2、積が-1となる2つの数を求めよ。

2. 解き方の手順

求める2つの数を$x$、$y$とします。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$x + y = 2$

$x y = -1$

1つ目の式から、$y$を$x$で表すと、

$y = 2 - x$

これを2つ目の式に代入すると、

$x (2 - x) = -1$

これを展開して整理すると、

$2x - x^2 = -1$

$x^2 - 2x - 1 = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解きます。解の公式は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a = 1$、$b = -2$、$c = -1$なので、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = 1 + \sqrt{2}$または$x = 1 - \sqrt{2}$です。

$x = 1 + \sqrt{2}$のとき、$y = 2 - x = 2 - (1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$

$x = 1 - \sqrt{2}$のとき、$y = 2 - x = 2 - (1 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

したがって、求める2つの数は$1 + \sqrt{2}$と$1 - \sqrt{2}$です。

3. 最終的な答え

$1 + \sqrt{2}$、 $1 - \sqrt{2}$