与えられた数式 $x^2 + xy - x - 6y^2 + 2y$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x^2 + xy - x - 6y^2 + 2y$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理してみる。

$x^2 + xy - x - 6y^2 + 2y = x^2 + (y-1)x - (6y^2 - 2y)$

次に、$6y^2 - 2y$ を因数分解する。

$6y^2 - 2y = 2y(3y - 1)$

次に、与えられた式全体を因数分解する。

$x^2 + (y-1)x - 2y(3y-1)$

$(x + ay)(x + by)$ の形になるはずなので、

$ay + by = y - 1$

$aby^2 = -6y^2 + 2y$

$6y^2 - 2y = (3y+2)(-2y)$ なので、

$(x + 3y + 2)(x - 2y)$ を展開すると、

$x^2 + x(3y+2-2y) + (3y+2)(-2y)$

$x^2 + x(y+2) - 6y^2 - 4y$

これは元の式と一致しない。

$6y^2 - 2y = (-3y-2)(2y)$なので、

$(x - 3y - 2)(x + 2y)$を展開すると、

$x^2 + x(-3y - 2 + 2y) + (-3y-2)(2y)$

$x^2 + x(-y-2) -6y^2 -4y$

これも元の式と一致しない。

$6y^2 - 2y$ を $(2y+a)(3y+b)$の形に因数分解することを考える。

$6y^2+2by+3ay+ab = 6y^2 - 2y$

$3a+2b= -2$, $ab=0$

$a=0$ なら $b = -1$

$b=0$ なら $a = -2/3$

$6y^2 - 2y = (2y)(3y-1)$ なので、元の式は

$x^2 + (y-1)x - 2y(3y-1)$

$(x + 2y)(x - 3y+1) = x^2 + 2yx -3yx + x + 2y(-3y+1) = x^2 -xy + x - 6y^2 + 2y$

$(x - 2y)(x + 3y - 1) = x^2 - 2yx +3yx - x - 2y(3y-1) = x^2 + xy - x - 6y^2 + 2y$

3. 最終的な答え

$(x - 2y)(x + 3y - 1)$