ベクトル $\vec{a} = (0, 1, 2)$、$\vec{b} = (-3, 0, 1)$、$\vec{c} = (-2, 3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{p} = (2, 18, 2)$ を $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形で表す。つまり、$s, t, u$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, 1, 2)$、$\vec{b} = (-3, 0, 1)$、$\vec{c} = (-2, 3, 0)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{p} = (2, 18, 2)$ を $\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形で表す。つまり、$s, t, u$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ にそれぞれのベクトルを代入すると、

$(2, 18, 2) = s(0, 1, 2) + t(-3, 0, 1) + u(-2, 3, 0)$

成分ごとに比較すると、以下の連立方程式が得られる。

\begin{align*}

0s - 3t - 2u &= 2 \\

1s + 0t + 3u &= 18 \\

2s + 1t + 0u &= 2

\end{align*}

これを解く。まず、$t$ を消去するため、３番目の式に３をかけて１番目の式に足し合わせる。

$2s + t = 2$ より $t = 2 - 2s$ なので、第1式に代入して整理する。

$-3t - 2u = 2$

$-3(2-2s) - 2u = 2$

$-6 + 6s - 2u = 2$

$6s - 2u = 8$

$3s - u = 4$

$u = 3s - 4$

第2式に代入すると、

$s + 3u = 18$

$s + 3(3s - 4) = 18$

$s + 9s - 12 = 18$

$10s = 30$

$s = 3$

したがって、

$u = 3s - 4 = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$

$t = 2 - 2s = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4$

よって、$s = 3$, $t = -4$, $u = 5$ である。

3. 最終的な答え

$\vec{p} = 3\vec{a} - 4\vec{b} + 5\vec{c}$

または

$s = 3, t = -4, u = 5$