全体集合$U$を200以下の自然数全体の集合、集合$A$を5の倍数全体の集合、集合$B$を4で割ると2余る数全体の集合とします。 (1) 集合$A$の要素の個数$n(A)$と、集合$B$の要素の個数$n(B)$を求めます。 (2) 集合$A$と集合$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数$n(A \cap B)$を求めます。

1. 問題の内容

全体集合$U$を200以下の自然数全体の集合、集合$A$を5の倍数全体の集合、集合$B$を4で割ると2余る数全体の集合とします。

(1) 集合$A$の要素の個数$n(A)$と、集合$B$の要素の個数$n(B)$を求めます。

(2) 集合$A$と集合$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数$n(A \cap B)$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $n(A)$を求めるには、200以下の自然数の中に5の倍数がいくつあるかを数えます。これは$200 \div 5$を計算すれば求められます。

* $n(B)$を求めるには、200以下の自然数の中に4で割ると2余る数がいくつあるかを数えます。4で割ると2余る数は、$4k+2$（$k$は整数）と表せます。$4k+2 \le 200$を満たす最大の$k$を求め、$k$が0から始まることに注意して、個数を求めます。

(2)

* $n(A \cap B)$を求めるには、$A$と$B$両方に属する要素、つまり、5の倍数であり、かつ4で割ると2余る数を数えます。このような数は、$4k+2$が5の倍数になるような$k$を考えればよいです。言い換えると、$4k+2$が10の倍数、つまり$4k+2 = 5n$ ($n$は整数) となるような自然数です。$4k+2 = 10m$ (mは自然数) となる $k$ を求めます。この式は$2k+1 = 5m$ と変形できます。 $A \cap B$に属する数を $20l + 10$ ($l$ は整数)と表せます。$20l + 10 \le 200$を満たす自然数 $l$ がいくつあるかを調べれば、$n(A \cap B)$が求められます。

3. 最終的な答え

(1)

$n(A) = 200 \div 5 = 40$

$200 = 4k + 2$を解くと、$4k = 198$なので、$k=49.5$となります。 $k$ は整数なので、$k$ の最大値は49です。$k$は0から49までの整数値を取るので、$n(B) = 49 + 1 = 50$

(2)

$A \cap B$に属する数は、$20l + 10$ と表せ、$20l + 10 \le 200$を満たす $l$ を求めます。

$20l \le 190$

$l \le 9.5$

$l$ は0から9までの整数値を取るので、$n(A \cap B) = 9 + 1 = 10$

したがって、

(1) $n(A) = 40, n(B) = 50$

(2) $n(A \cap B) = 10$