与えられた不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ を解き、$x$ の範囲を $x \geq \frac{\text{ア}a-\text{イ}}{\text{ウ}}$ の形で表す。 次に、不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$a$ の範囲を $\text{エ} < a \leq \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ の形で表し、この範囲を満たす整数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ を解き、$x$ の範囲を $x \geq \frac{\text{ア}a-\text{イ}}{\text{ウ}}$ の形で表す。

次に、不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$a$ の範囲を $\text{エ} < a \leq \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ の形で表し、この範囲を満たす整数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ を解く。

両辺に $3$ を掛けて $6x + 9 \geq 4(x+1) + 3a$

$6x + 9 \geq 4x + 4 + 3a$

$2x \geq 3a - 5$

$x \geq \frac{3a-5}{2}$

したがって、$\text{ア}=3, \text{イ}=5, \text{ウ}=2$ である。

次に、不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないことから、$x \geq \frac{3a-5}{2}$ について、

$x=3$ を含むとき、$3 \geq \frac{3a-5}{2}$ となり、

$6 \geq 3a - 5$

$11 \geq 3a$

$a \leq \frac{11}{3}$

$x=-1$ を含まないとき、$-1 < \frac{3a-5}{2}$ となり、

$-2 < 3a - 5$

$3 < 3a$

$1 < a$

したがって、$1 < a \leq \frac{11}{3}$ である。 $\frac{11}{3} = 3.666...$

したがって、$\text{エ}=1, \text{オカ}=11, \text{キ}=3$ である。

最後に、$1 < a \leq \frac{11}{3}$ を満たす整数 $a$ は、$2$ と $3$ の２つである。

したがって、$\text{ク}=2$ である。

3. 最終的な答え

ア=3, イ=5, ウ=2

エ=1, オカ=11, キ=3

ク=2