多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りが3、$x+3$で割ると余りが-7である。$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りが3、$x+3$で割ると余りが-7である。$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、求める余りを$ax+b$とおく。

すると、$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ったときの商を$Q(x)$とすると、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$と表せる。

剰余の定理より、$P(2) = 3$かつ$P(-3) = -7$であるから、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 3$

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) + (-3)a + b = -3a + b = -7$

という連立方程式を得る。

この連立方程式を解く。

$2a+b=3$

$-3a+b=-7$

上の式から下の式を引くと、$5a=10$より、$a=2$。

$2a+b=3$に$a=2$を代入すると、$2(2) + b = 3$より、$4+b=3$なので、$b = -1$。

したがって、求める余りは$2x-1$となる。

3. 最終的な答え

$2x-1$