$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$ab - b^2 - 6b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{10}$ の整数部分 $a$ を求めます。$3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2$ より、$3 < \sqrt{10} < 4$ であるため、$a = 3$ です。

次に、$\sqrt{10}$ の小数部分 $b$ を求めます。$\sqrt{10} = a + b$ より、$b = \sqrt{10} - a = \sqrt{10} - 3$ です。

求めたい式に $a = 3$ と $b = \sqrt{10} - 3$ を代入します。

$ab - b^2 - 6b = b(a - b - 6)$

$= (\sqrt{10} - 3)(3 - (\sqrt{10} - 3) - 6)$

$= (\sqrt{10} - 3)(3 - \sqrt{10} + 3 - 6)$

$= (\sqrt{10} - 3)(-\sqrt{10})$

$= -10 + 3\sqrt{10}$

元の式に代入して計算すると

$ab - b^2 - 6b = 3(\sqrt{10}-3) - (\sqrt{10}-3)^2 - 6(\sqrt{10}-3)$

$= 3\sqrt{10} - 9 - (10 - 6\sqrt{10} + 9) - 6\sqrt{10} + 18$

$= 3\sqrt{10} - 9 - 19 + 6\sqrt{10} - 6\sqrt{10} + 18$

$= 3\sqrt{10} - 10$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{10}-10$