$(y-2)(y+3) = y^2 + 3y - 2y - 6 = y^2 + y - 6$

## 問題の因数分解

与えられた4つの多項式を因数分解します。

(1) $x^2 + (2y+1)x + (y-2)(y+3)$

(2) $x^2 + 2xy + y^2 + 5x + 5y + 6$

(3) $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3$

(4) $2x^2 + 3xy + y^2 + 7x + 2y - 15$

## 解き方の手順

### (1) $x^2 + (2y+1)x + (y-2)(y+3)$

1. 定数項 $(y-2)(y+3)$ を展開します。

$(y-2)(y+3) = y^2 + 3y - 2y - 6 = y^2 + y - 6$

2. 多項式全体は $x^2 + (2y+1)x + (y^2 + y - 6)$ となります。

3. $x$ の係数が $2y+1$ で、定数項が $y^2+y-6 = (y-2)(y+3)$ であることから、因数分解を試みます。 $(x+y-2)(x+y+3)$ を展開すると

$(x+y-2)(x+y+3) = x^2 + xy + 3x + xy + y^2 + 3y - 2x - 2y - 6 = x^2 + 2xy + y^2 + x + y - 6$

$x^2 + (2y+1)x + y^2 + y - 6$ と比較すると、$x^2$ と $y^2$ の係数、定数項は一致している。また、$x$ の係数も一致しています。つまり、

4. 因数分解の結果は $(x+y-2)(x+y+3)$ です。

### (2) $x^2 + 2xy + y^2 + 5x + 5y + 6$

1. $x^2 + 2xy + y^2$ を $(x+y)^2$ と変形します。

2. $x^2 + 2xy + y^2 + 5x + 5y + 6 = (x+y)^2 + 5(x+y) + 6$ となります。

3. $x+y = A$ と置換すると、$A^2 + 5A + 6$ となります。

4. $A^2 + 5A + 6$ を因数分解すると、 $(A+2)(A+3)$ となります。

5. $A$ を $x+y$ に戻すと、 $(x+y+2)(x+y+3)$ となります。

### (3) $x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3$

1. $x$ について整理すると、 $x^2 + (y+2)x - (2y^2 - 7y + 3)$ となります。

2. 定数項 $2y^2 - 7y + 3$ を因数分解すると、 $(2y-1)(y-3)$ となります。

3. したがって、$x^2 + (y+2)x - (2y-1)(y-3)$ を因数分解すると、 $(x+2y-1)(x-y+3)$ となります。

### (4) $2x^2 + 3xy + y^2 + 7x + 2y - 15$

1. $2x^2 + 3xy + y^2$ を因数分解すると $(2x+y)(x+y)$ となります。

2. 与式は $(2x+y)(x+y) + 7x + 2y - 15$ となります。

3. 与式が $(2x+y+a)(x+y+b)$ の形になると仮定すると、$ab = -15$ であり、$2b+a = 7$, $b+a = 2$ である必要があります。

4. $a = 5$, $b = -3$ とすると、$ab = -15$, $2b+a = -6+5 = -1$ （不一致）、$a+b = 5-3 = 2$ となります。

5.　$a=-3$，$b=5$とすると、$ab = -15$, $2b+a = 10-3 = 7$, $a+b = 2$ となるので、これは一致します。

6. したがって、$(2x+y-3)(x+y+5)$ となります。

## 最終的な答え

(1) $(x+y-2)(x+y+3)$

(2) $(x+y+2)(x+y+3)$

(3) $(x+2y-1)(x-y+3)$

(4) $(2x+y-3)(x+y+5)$