与えられた式 $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)-24$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)-24$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)$ の部分を計算しやすいように並び替えます。

$(x-1)(x+4)$ と $(x+2)(x-3)$ をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$

$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

ここで、$x^2 + 3x - 4$ と $x^2 - x - 6$ を掛け合わせる前に、共通の形を作ることを考えます。

$x^2 + 3x - 4$ と $x^2 - x - 6$ を見てみると、どちらも $x^2$ の項があるので、似た形にすることができます。

$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - x - 6)$

ここで、$A = x^2 + x$ とおきます。

$x^2 + 3x - 4 = x^2 + x + 2x - 4 = A + 2x - 4$

$x^2 - x - 6 = x^2 + x - 2x - 6 = A - 2x - 6$

元の式は $(A + 2x - 4)(A - 2x - 6) - 24$ となります。

ここで、A = $x^2+x$ は使わずに、

$(x-1)(x+4)(x+2)(x-3) = (x^2+3x-4)(x^2-x-6)$

$=(x^2+x+2x-4)(x^2+x-2x-6)$

ここで、$X=x^2+x$ とおくと

$(X+2x-4)(X-2x-6) = X^2 + 2xX - 4X - 2xX -4x^2 +8x -6X -12x +24 = X^2 -10X -4x^2 -4x+24$

もう一度並び替えて

$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) = (x-1)(x-3)(x+2)(x+4)=(x^2-4x+3)(x^2+6x+8)$.

もう一度やり直します。

$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) - 24 = (x-1)(x+4)(x+2)(x-3) - 24 = (x^2+3x-4)(x^2-x-6)-24$

$X = x^2 + x$ と置換すると、

$(X+2x-4)(X-2x-6) - 24 = X^2 - 2xX -6X + 2xX - 4x^2 - 12x - 4X +8x+24-24$

$= X^2 - 10X - 4x^2 -4x$

$X = x^2+x$ を代入

$(x^2+x)^2 -10(x^2+x) -4x^2 -4x = x^4 + 2x^3 + x^2 -10x^2 - 10x -4x^2 -4x = x^4+2x^3-13x^2-14x$

$= x(x^3+2x^2-13x-14)$

$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) - 24 = (x^2+3x-4)(x^2-x-6) - 24 = x^4+2x^3-13x^2-14x+24-24$

$= x^4+2x^3-13x^2-14x=x(x^3+2x^2-13x-14)$

ここで、$f(x)=x^3+2x^2-13x-14$.

$f(-1)=-1+2+13-14 = 0$.

よって、$x+1$で割り切れる。

$x^3+2x^2-13x-14 = (x+1)(x^2+x-14)$

$x(x+1)(x^2+x-14)$

3. 最終的な答え

$x(x+1)(x^2+x-14)$