$x + y = 1$ かつ $xy = 2$ のとき、次の値を求める。 (1) $x^3 + y^3$ (2) $x^4 + y^4$ (3) $x^5 + y^5$

1. 問題の内容

$x + y = 1$ かつ $xy = 2$ のとき、次の値を求める。

(1) $x^3 + y^3$

(2) $x^4 + y^4$

(3) $x^5 + y^5$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + y^3$ を求める。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ と変形できる。

さらに、$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ と変形できるので、

$x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy)$ となる。

与えられた条件 $x + y = 1$ と $xy = 2$ を代入する。

$x^3 + y^3 = (1)((1)^2 - 3(2)) = 1(1 - 6) = -5$

(2) $x^4 + y^4$ を求める。

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (1)^2 - 2(2) = 1 - 4 = -3$

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$ と変形できる。

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (-3)^2 - 2(2)^2 = 9 - 8 = 1$

(3) $x^5 + y^5$ を求める。

$x^5 + y^5 = (x^3 + y^3)(x^2 + y^2) - x^2y^2(x + y)$ と変形できる。

$x^5 + y^5 = (x^3 + y^3)(x^2 + y^2) - (xy)^2(x + y)$

これまでに求めた $x^3 + y^3 = -5$、$x^2 + y^2 = -3$、$x + y = 1$、$xy = 2$ を代入する。

$x^5 + y^5 = (-5)(-3) - (2)^2(1) = 15 - 4 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + y^3 = -5$

(2) $x^4 + y^4 = 1$

(3) $x^5 + y^5 = 11$