ベクトル $A = (2, 1, 2)$ と $B = (3, 6, -3)$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) ベクトル $A$ の単位ベクトルを求める。 (2) ベクトル $B$ をベクトル $A$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、ベクトル $A$ 方向のベクトルを求める。 (3) ベクトル $B$ をベクトル $A$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、ベクトル $A$ に垂直な方向のベクトルを求める。 (4) ベクトル $A$ と $B$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める。 (5) ベクトル $A$ と $B$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $A = (2, 1, 2)$ と $B = (3, 6, -3)$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) ベクトル $A$ の単位ベクトルを求める。

(2) ベクトル $B$ をベクトル $A$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、ベクトル $A$ 方向のベクトルを求める。

(3) ベクトル $B$ をベクトル $A$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、ベクトル $A$ に垂直な方向のベクトルを求める。

(4) ベクトル $A$ と $B$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める。

(5) ベクトル $A$ と $B$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $A$ の単位ベクトル

ベクトル $A$ の大きさ（ノルム）を $|A|$ とすると、

$|A| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

ベクトル $A$ の単位ベクトル $e_A$ は、

$e_A = \frac{A}{|A|} = \frac{(2, 1, 2)}{3} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

(2) ベクトル $B$ のベクトル $A$ 方向成分

ベクトル $B$ のベクトル $A$ への正射影ベクトル $B_A$ は、

$B_A = \frac{A \cdot B}{|A|^2} A$

$A \cdot B = (2)(3) + (1)(6) + (2)(-3) = 6 + 6 - 6 = 6$

$|A|^2 = 3^2 = 9$

$B_A = \frac{6}{9} A = \frac{2}{3} (2, 1, 2) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$

(3) ベクトル $B$ のベクトル $A$ に垂直な成分

ベクトル $B$ のベクトル $A$ に垂直な成分 $B_{\perp A}$ は、

$B_{\perp A} = B - B_A = (3, 6, -3) - \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{9-4}{3}, \frac{18-2}{3}, \frac{-9-4}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{16}{3}, -\frac{13}{3}\right)$

(4) 平行四辺形の面積 $S$

平行四辺形の面積 $S$ は $|A \times B|$ で与えられる。

$A \times B = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & -3 \end{vmatrix} = i(1(-3) - 2(6)) - j(2(-3) - 2(3)) + k(2(6) - 1(3)) = i(-3 - 12) - j(-6 - 6) + k(12 - 3) = -15i + 12j + 9k = (-15, 12, 9)$

$S = |A \times B| = \sqrt{(-15)^2 + 12^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 144 + 81} = \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$

(5) ベクトル $A$ と $B$ に垂直な単位ベクトル

$A$ と $B$ に垂直なベクトルは $A \times B = (-15, 12, 9)$.

単位ベクトルは $\frac{A \times B}{|A \times B|}$

$|A \times B| = 15\sqrt{2}$

$\frac{A \times B}{|A \times B|} = \frac{(-15, 12, 9)}{15\sqrt{2}} = \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{3}{5\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{2}}{5}, \frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$

もう一つの単位ベクトルは符号を反転した $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{2\sqrt{2}}{5}, -\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$.

3. 最終的な答え

(1) $A$ の単位ベクトル: $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

(2) $B$ の $A$ 方向成分: $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$

(3) $B$ の $A$ に垂直な成分: $\left(\frac{5}{3}, \frac{16}{3}, -\frac{13}{3}\right)$

(4) 平行四辺形の面積 $S$: $15\sqrt{2}$

(5) $A$ と $B$ に垂直な単位ベクトル: $\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{2}}{5}, \frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$ と $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{2\sqrt{2}}{5}, -\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$