$\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ を満たす定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ を満たす定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、$a$と$b$に関する連立方程式を立て、解きます。

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1} = \frac{a(3x-1) + b(x-1)}{(x-1)(3x-1)}$

したがって、

$\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a(3x-1) + b(x-1)}{(x-1)(3x-1)}$

分母が等しいので、分子を比較すると、

$x+1 = a(3x-1) + b(x-1)$

$x+1 = 3ax - a + bx - b$

$x+1 = (3a+b)x + (-a-b)$

両辺の$x$の係数と定数項を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$3a+b = 1$

$-a-b = 1$

2つの式を足し合わせると

$3a+b + (-a-b) = 1+1$

$2a = 2$

$a = 1$

$a = 1$ を $-a-b = 1$ に代入すると

$-1-b = 1$

$b = -2$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -2$