$x + y = 1$ かつ $xy = 2$ のとき、$x^3 + y^3$, $x^4 + y^4$, $x^5 + y^5$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$x + y = 1$ かつ $xy = 2$ のとき、$x^3 + y^3$, $x^4 + y^4$, $x^5 + y^5$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + y^3$ を求める。

和の3乗の公式より、

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2$

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

$x + y = 1$, $xy = 2$ を代入して、

$x^3 + y^3 = 1^3 - 3 \cdot 2 \cdot 1$

$x^3 + y^3 = 1 - 6 = -5$

(2) $x^4 + y^4$ を求める。

$(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

$x^2 + y^2 = 1^2 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3$

$x^4 + y^4 = (-3)^2 - 2 \cdot 2^2$

$x^4 + y^4 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

(3) $x^5 + y^5$ を求める。

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^3 - x^3y^2$

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^2(y + x)$

$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - (xy)^2(x + y)$

$x^5 + y^5 = (-3)(-5) - (2)^2(1)$

$x^5 + y^5 = 15 - 4 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + y^3 = -5$

(2) $x^4 + y^4 = 1$

(3) $x^5 + y^5 = 11$