与えられた4次式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $A$ とおきます。

$A = x^4 - 3x^2 + 1$

この式は、そのままでは因数分解しにくいので、$x^4 + 2x^2 + 1$ の形に近づけて、平方の差の形を作ることを考えます。

$A = x^4 + 2x^2 + 1 - 5x^2$

$A = (x^2+1)^2 - (\sqrt{5}x)^2$

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して因数分解します。

$A = (x^2 + 1 + \sqrt{5}x)(x^2 + 1 - \sqrt{5}x)$

通常、係数は有理数で表すことが多いですが、問題文の指示がないので、この形で解答しても良いと考えられます。しかし、ここではさらに変形し、式を整理します。

$A = (x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$