$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2 - 80)$ とおく。$S_n$ を最小にする $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2 - 80)$ とおく。$S_n$ を最小にする $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$S_n$ を最小にする $n$ を求めるには、$S_n$ の差分 $S_n - S_{n-1}$ を調べます。これは $n$ に関する関数 $a_n = n^3 + n^2 - 80$ となります。

$a_n = n^3 + n^2 - 80$ が負から正に変わる $n$ を探します。

$a_1 = 1 + 1 - 80 = -78 < 0$

$a_2 = 8 + 4 - 80 = -68 < 0$

$a_3 = 27 + 9 - 80 = -44 < 0$

$a_4 = 64 + 16 - 80 = 0$

$a_5 = 125 + 25 - 80 = 70 > 0$

$S_n$ が最小になるのは、$a_n$ が負から正に変わる直前です。$a_4 = 0$ なので、$n=3$ のとき $S_n$ が最小値を取ります。

または、$a_n$ が初めて正になる $n$ を探すと、$n=5$ であることがわかります。

$S_n$ が最小になるのは、$a_n \leq 0$ である最大の $n$ です。

$n=4$ のとき $a_4 = 0$ となり、 $n=5$ のとき $a_5 = 70$ となります。

$S_n$ を最小にする $n$ は $n=4$ です。

3. 最終的な答え

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