複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が以下の条件を満たすとき、設問に答える問題です。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は 2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 (1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$ \alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $ \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p$, $q$, $r$, $s$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a$, $b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が以下の条件を満たすとき、設問に答える問題です。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は 2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

(1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p$, $q$, $r$, $s$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a$, $b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。

条件(A)より、$\arg z_1 - \arg z_2 = \frac{2}{3}\pi$ なので、$z_1 = |z_1| e^{i\theta}$, $z_2 = |z_2|e^{i(\theta-\frac{2}{3}\pi)}$ とおくことができる。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) |z_1| e^{i\theta} = p|z_1| e^{i\theta} + q|z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

$\alpha z_2 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)} = r|z_1| e^{i\theta} + s|z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

$\alpha z_1 = p z_1 + q z_2$ より

$\alpha = p + q \frac{z_2}{z_1}$

$\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ より

$\alpha = r \frac{z_1}{z_2} + s$

$\frac{z_2}{z_1} = \frac{|z_2|}{|z_1|} e^{-i\frac{2}{3}\pi}$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i\frac{2}{3}\pi}$

$\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = p + q \frac{|z_2|}{|z_1|} (\cos(-\frac{2}{3}\pi) + i \sin(-\frac{2}{3}\pi)) = p + q \frac{|z_2|}{|z_1|} (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = r \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos(\frac{2}{3}\pi) + i \sin(\frac{2}{3}\pi)) + s = r \frac{|z_1|}{|z_2|} (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) + s$

$\begin{cases} \frac{1}{2} = p - \frac{1}{2} q \frac{|z_2|}{|z_1|} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} q \frac{|z_2|}{|z_1|} \end{cases}$

$q \frac{|z_2|}{|z_1|} = -1 \Rightarrow q = - \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$\frac{1}{2} = p + \frac{1}{2} \frac{|z_1|}{|z_2|} \frac{|z_2|}{|z_1|} = p + \frac{1}{2} \Rightarrow p = 0$

$\begin{cases} \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} r \frac{|z_1|}{|z_2|} + s \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} r \frac{|z_1|}{|z_2|} \end{cases}$

$r \frac{|z_1|}{|z_2|} = 1 \Rightarrow r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + s \Rightarrow s = 1$

(2) 条件(B)より、$z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を通る直線に関して点0と反対側にあるので、ある実数 $k$ を用いて $z_3 = \lambda (z_1 + z_2)$ と表せる。条件(C)より、$\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形なので、$|z_1 - z_2| = |z_2 - z_3| = |z_3 - z_1|$

$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\frac{2}{3}\pi) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|$

$|z_2 - z_3|^2 = |z_2 - \lambda z_1 - \lambda z_2|^2 = |z_2(1-\lambda) - \lambda z_1|^2 = (1-\lambda)^2 |z_2|^2 + \lambda^2 |z_1|^2 - 2(1-\lambda)\lambda |z_1||z_2| \cos(\frac{2}{3}\pi) = (1-\lambda)^2 |z_2|^2 + \lambda^2 |z_1|^2 + (1-\lambda)\lambda |z_1||z_2|$

$|z_3 - z_1|^2 = |\lambda z_1 + \lambda z_2 - z_1|^2 = |(\lambda-1)z_1 + \lambda z_2|^2 = (\lambda-1)^2 |z_1|^2 + \lambda^2 |z_2|^2 + (\lambda-1)\lambda |z_1||z_2|$

$|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2| = (1-\lambda)^2 |z_2|^2 + \lambda^2 |z_1|^2 + (1-\lambda)\lambda |z_1||z_2| = (\lambda-1)^2 |z_1|^2 + \lambda^2 |z_2|^2 + (\lambda-1)\lambda |z_1||z_2|$

3. 最終的な答え

(1) $p = 0$, $q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$, $s = 1$

(2) （条件不足のため、$z_3$ が一意に決まらず、したがって、$a,b$ も決まらない。正三角形が$z_1, z_2$ を共有する二つの正三角形が存在するため、$z_3$ は一意に定まらない。）

あるいは、問題文に誤りがある可能性があります。条件(B)がない場合、$|z_1|=|z_2|$が導出できます。

$z_3 = az_1 + bz_2$

$a,b$ は $|z_1|$ と $|z_2|$ のみで表すことはできません。

$|z_1|=|z_2|$である場合、$a,b$ は定数で表せます。