## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ を満たすとき, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ. ただし, $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする.

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2. 解き方の手順

まず、$|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

これに与えられた値を代入すると,

$(\sqrt{13})^2 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1^2$

$13 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を使うと、

$\frac{3}{2} = 3 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より, $\theta = 60^\circ$

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3. 最終的な答え

$\theta = 60^\circ$