三角形OABにおいて、OA=7、OB=5、AB=8とし、垂心をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求めよ。 (2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=7、OB=5、AB=8とし、垂心をHとする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求めよ。

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

$8^2 = 5^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 7^2$

$64 = 25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 49$

$64 = 74 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 74 - 64 = 10$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

(2) $\vec{OH}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$とおく。

$\vec{AH} \perp \vec{OB}$より、$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = 0$

$(\vec{OH} - \vec{OA}) \cdot \vec{OB} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$5s + 25t - 5 = 0$

$s + 5t = 1$

$\vec{BH} \perp \vec{OA}$より、$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = 0$

$(\vec{OH} - \vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$49s + 5t - 5 = 0$

$s + 5t = 1$より、$5t = 1 - s$

$49s + (1-s) - 5 = 0$

$48s - 4 = 0$

$s = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$

$5t = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$

$t = \frac{11}{60}$

$\vec{OH} = \frac{1}{12}\vec{a} + \frac{11}{60}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{12}\vec{a} + \frac{11}{60}\vec{b}$