球 $S$ の球面上に4点 $A, B, C, D$ がある。3点 $A, B, C$ を通る円の中心を $P$ とすると、線分 $DP$ はこの円に垂直である。$AB=6, BC=2\sqrt{5}, CA=4\sqrt{2}, AD=2\sqrt{15}$ のとき、以下の問いに答える。 (1) 三角形 $ABC$ の面積を求めよ。 (2) 線分 $AP$ の長さを求めよ。 (3) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。 (4) 球 $S$ の半径と球 $S$ の表面積を求めよ。

1. 問題の内容

球 $S$ の球面上に4点 $A, B, C, D$ がある。3点 $A, B, C$ を通る円の中心を $P$ とすると、線分 $DP$ はこの円に垂直である。$AB=6, BC=2\sqrt{5}, CA=4\sqrt{2}, AD=2\sqrt{15}$ のとき、以下の問いに答える。

(1) 三角形 $ABC$ の面積を求めよ。

(2) 線分 $AP$ の長さを求めよ。

(3) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

(4) 球 $S$ の半径と球 $S$ の表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 $ABC$ の面積を求める。

ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{AB+BC+CA}{2}$ とすると、

$s = \frac{6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}$

$s-AB = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} - 6 = -3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

$s-BC = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} = 3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

$s-CA = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

$S = \sqrt{(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(-3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2})}$

$S = \sqrt{(( \sqrt{5} + 2\sqrt{2})^2 - 9)(9 - ( \sqrt{5} - 2\sqrt{2})^2)}$

$S = \sqrt{(5 + 8 + 4\sqrt{10} - 9)(9 - (5 + 8 - 4\sqrt{10}))}$

$S = \sqrt{(4 + 4\sqrt{10})(9 - 13 + 4\sqrt{10})}$

$S = \sqrt{(4 + 4\sqrt{10})(-4 + 4\sqrt{10})} = \sqrt{16( \sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} - 1)}$

$S = 4\sqrt{10 - 1} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12$

(2) 線分 $AP$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ の外接円の半径 $R$ は、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\sin C$ を求めるために、余弦定理を用いる。

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cos C$

$6^2 = (2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2} \cos C$

$36 = 20 + 32 - 16\sqrt{10} \cos C$

$16\sqrt{10} \cos C = 52 - 36 = 16$

$\cos C = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

$\sin C = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$2R = \frac{6}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = 2\sqrt{10}$

$R = AP = \sqrt{10}$

(3) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

$DP \perp 平面ABC$ なので、四面体 $ABCD$ の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot DP$

$AD^2 = AP^2 + DP^2$

$(2\sqrt{15})^2 = (\sqrt{10})^2 + DP^2$

$60 = 10 + DP^2$

$DP^2 = 50$

$DP = 5\sqrt{2}$

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

(4) 球 $S$ の半径と球 $S$ の表面積を求めよ。

球の中心を $O$ とすると、$OA = OD$

$OA^2 = AP^2 + OP^2$

$OD^2 = (\frac{DP}{2})^2 + (\frac{DP}{2} - OP)^2$

$R^2 = (\sqrt{10})^2 + OP^2 = 10 + OP^2$

$R^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + (OP - \frac{5\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{50}{4} + OP^2 - 5\sqrt{2} OP + \frac{50}{4}$

$10 + OP^2 = \frac{50}{2} + OP^2 - 5\sqrt{2} OP$

$5\sqrt{2} OP = 25 - 10 = 15$

$OP = \frac{15}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$R^2 = 10 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = 10 + \frac{18}{4} = 10 + \frac{9}{2} = \frac{29}{2}$

$R = \sqrt{\frac{29}{2}} = \frac{\sqrt{58}}{2}$

球 $S$ の表面積は、

$4\pi R^2 = 4\pi (\frac{29}{2}) = 58\pi$

3. 最終的な答え

(1) 三角形 $ABC$ の面積: $12$

(2) 線分 $AP$ の長さ: $\sqrt{10}$

(3) 四面体 $ABCD$ の体積: $20\sqrt{2}$

(4) 球 $S$ の半径: $\frac{\sqrt{58}}{2}$、球 $S$ の表面積: $58\pi$