円Oに内接する三角形ABCにおいて、$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$である。 $\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$を求め、$\frac{DH}{BD}$を求める問題。

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCにおいて、$\angle ACB = 75^\circ$, $\angle OAC = 30^\circ$である。

$\angle AOC$, $\angle ABC$, $\angle ADH$, $\angle DAB$, $\angle DAH$を求め、$\frac{DH}{BD}$を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOC$ を求める。

円の中心角は、同じ弧に対する円周角の2倍である。したがって、

$\angle AOC = 2 \times \angle ABC$

$\angle ABC$を求める必要がある。

(2) $\angle ABC$ を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB$

$\angle ACB = 75^\circ$ である。

三角形OACはOA=OCの二等辺三角形であるから、

$\angle OCA = \angle OAC = 30^\circ$

$\angle AOC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$

円周角の定理より、

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$

(3) $\angle BAC$ を求める。

$\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

(4) $\angle AOC$ を再度確認する。

$\angle ABC = 60^\circ$ より $\angle AOC = 2 \times \angle ABC$ から $\angle AOC = 120^\circ$となる。

(5) ADは$\angle BAC$の二等分線である。

$\angle DAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 45^\circ = 22.5^\circ$

$\angle ADH$について考える。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD = 180^\circ - 22.5^\circ - 75^\circ = 82.5^\circ$

$\angle ADH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 82.5^\circ = 97.5^\circ$

ADは$\angle BAC$の二等分線だから$\angle BAD = 22.5^\circ$

(6) $\angle DAH$を求める。

$\angle AHD = 90^\circ$より、$\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - (180^\circ - 82.5^\circ) = 90^\circ - 97.5^\circ$。これは矛盾する。

三角形ABDにおいて

$\angle ADB = 180 - \angle DAB - \angle ABD = 180 - 22.5 - 60 = 97.5$

したがって $\angle ADH = 180 - 97.5 = 82.5^\circ$

$\angle DAH = 90 - \angle ADH = 90 - 82.5 = 7.5^\circ$

(7) $\frac{DH}{BD}$を求める。

三角形ADHにおいて、$\angle DAH = 7.5^\circ$ より、

$\frac{DH}{AD} = \cos 82.5^\circ$

三角形ABDにおいて、正弦定理を用いると、

$\frac{BD}{\sin DAB} = \frac{AD}{\sin ABD}$

$\frac{BD}{AD} = \frac{\sin 22.5^\circ}{\sin 60^\circ}$

$\frac{DH}{BD} = \frac{DH}{AD} \times \frac{AD}{BD} = \frac{\cos 82.5^\circ \sin 60^\circ}{\sin 22.5^\circ} = \frac{\sin 7.5^\circ \sin 60^\circ}{\sin 22.5^\circ}$

$\sin 7.5^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{DH}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4\sqrt{2-\sqrt{2}}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

3. 最終的な答え

$\angle AOC = 120^\circ$

$\angle ABC = 60^\circ$

$\angle ADH = 82.5^\circ$

$\angle DAB = 22.5^\circ$

$\angle DAH = 7.5^\circ$

$\frac{DH}{BD} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}$

DH/BD=√（3-√3）/3

DH/BD=√3/3

$\frac{DH}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

シ=√3

ス=3