(1) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ に対して、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ が与えられている。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ に対して、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ が与えられている。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2$ を計算する。

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

したがって、

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

この式に、与えられた値を代入すると、

$(\sqrt{13})^2 = 3^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 1^2$

$13 = 9 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 1$

$13 = 10 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$

$2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

次に、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を用いると、

$\frac{3}{2} = 3 \cdot 1 \cdot \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるから、$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

$\theta = 60^\circ$