関数 $y = \frac{1}{(4x^2+1)^3}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(4x^2+1)^3}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = (4x^2+1)^{-3}$ と変形します。次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を用います。

$u = 4x^2+1$ とおくと、$y = u^{-3}$ となります。

すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

が成り立ちます。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4} = -3(4x^2+1)^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 8x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -3(4x^2+1)^{-4} \cdot 8x = -24x(4x^2+1)^{-4} = \frac{-24x}{(4x^2+1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-24x}{(4x^2+1)^4}$