与えられた関数を微分する問題です。全部で9つの関数があり、それぞれについて微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。全部で9つの関数があり、それぞれについて微分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + x + 1)^3$

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = u^3$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(x^2 + x + 1)^2(2x + 1)$

(2) $y = (3x + 7)^5$

$u = 3x + 7$ とおくと、$y = u^5$ です。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(3x + 7)^4 \cdot 3 = 15(3x + 7)^4$

(3) $y = (ax + b)^n$

$u = ax + b$ とおくと、$y = u^n$ です。

$\frac{dy}{du} = nu^{n-1}$

$\frac{du}{dx} = a$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = n(ax + b)^{n-1} \cdot a = an(ax + b)^{n-1}$

(4) $y = \frac{1}{x^2 + x + 1}$

$y = (x^2 + x + 1)^{-1}$ と変形します。

$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = u^{-1}$ です。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x^2 + x + 1)^2}(2x + 1) = -\frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}$

(5) $y = \frac{1}{(x^2 + x + 1)^3}$

$y = (x^2 + x + 1)^{-3}$ と変形します。

$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = u^{-3}$ です。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4} = -\frac{3}{u^4}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(x^2 + x + 1)^4}(2x + 1) = -\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^4}$

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^4$

$y = (x + x^{-1})^4$

$u = x + x^{-1}$ とおくと、$y = u^4$ です。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4(x + \frac{1}{x})^3(1 - \frac{1}{x^2})$

(7) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 7}$

$y = (x^2 + 3x + 7)^{1/2}$

$u = x^2 + 3x + 7$ とおくと、$y = u^{1/2}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x + 7}}(2x + 3) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 7}}$

(8) $y = \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

$y = (x + (x^2 + 1)^{1/2})^{1/2}$

$u = x + (x^2 + 1)^{1/2}$ とおくと、$y = u^{1/2}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2}(2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})$

$= \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{2\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}{2\sqrt{x^2 + 1}}$

(9) $y = (\frac{x^2}{2x - 3})^4$

$u = \frac{x^2}{2x - 3}$ とおくと、$y = u^4$ です。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{(2x)(2x - 3) - x^2(2)}{(2x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 6x - 2x^2}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x}{(2x - 3)^2} = \frac{2x(x - 3)}{(2x - 3)^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4(\frac{x^2}{2x - 3})^3 \cdot \frac{2x(x - 3)}{(2x - 3)^2} = \frac{8x^7(x-3)}{(2x-3)^5}$

3. 最終的な答え

(1) $3(x^2 + x + 1)^2(2x + 1)$

(2) $15(3x + 7)^4$

(3) $an(ax + b)^{n-1}$

(4) $-\frac{2x + 1}{(x^2 + x + 1)^2}$

(5) $-\frac{3(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^4}$

(6) $4(x + \frac{1}{x})^3(1 - \frac{1}{x^2})$

(7) $\frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 7}}$

(8) $\frac{\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}}{2\sqrt{x^2 + 1}}$

(9) $\frac{8x^7(x-3)}{(2x-3)^5}$