与えられた数列の和を求める問題です。数列は $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+2)}$ であり、$n \ge 2$ という条件がついています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+2)}$ であり、$n \ge 2$ という条件がついています。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解を利用します。

$\frac{2}{k(k+2)}$ を次のように分解します。

$\frac{2}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $k(k+2)$ をかけると

$2 = A(k+2) + Bk$

$k=0$ のとき、$2 = 2A$ より $A=1$

$k=-2$ のとき、$2 = -2B$ より $B=-1$

したがって、

$\frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}$

与えられた数列の和は

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$= (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$

この和は、いくつかの項が打ち消しあって、以下のように整理できます。

$= 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

$= \frac{3}{2} - (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2})$

$= \frac{3}{2} - \frac{(n+2) + (n+1)}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3(n^2 + 3n + 2) - 4n - 6}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2 + 5n}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$