与えられた定積分 $\int_{0}^{1} (2+x) \sqrt{1-x^2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{1} (2+x) \sqrt{1-x^2} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int_{0}^{1} (2+x) \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} dx + \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx$

それぞれの積分を別々に計算します。

最初の積分：$\int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} dx$

$x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

$x=0$ のとき $\theta=0$ で、$x=1$ のとき $\theta=\frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{0}^{1} 2\sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\pi/2} 2\sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 2\cos^2\theta d\theta$

$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$\int_{0}^{\pi/2} 2\cos^2\theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} (1+\cos 2\theta) d\theta = [\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

次の積分：$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx$

$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。

$x=0$ のとき $u=1$ で、$x=1$ のとき $u=0$ となります。

$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{2} du) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{u} du = \frac{1}{2} [\frac{2}{3}u^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} - 0) = \frac{1}{3}$

したがって、$\int_{0}^{1} (2+x) \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$