一般項 $a_n = 3n - 5$ で表される等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の項を初項から1つおきにとってできる数列 $a_1, a_3, a_5, \dots$ を $\{b_n\}$ とする。このとき、数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

一般項 $a_n = 3n - 5$ で表される等差数列 $\{a_n\}$ がある。数列 $\{a_n\}$ の項を初項から1つおきにとってできる数列 $a_1, a_3, a_5, \dots$ を $\{b_n\}$ とする。このとき、数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示し、数列 $\{b_n\}$ の初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$b_n = a_{2n-1}$ であるから、

$b_n = 3(2n-1) - 5$

$b_n = 6n - 3 - 5$

$b_n = 6n - 8$

数列 $\{b_n\}$ が等差数列であることを示すためには、$b_{n+1} - b_n$ が一定であることを示せばよい。

$b_{n+1} = 6(n+1) - 8 = 6n + 6 - 8 = 6n - 2$

$b_{n+1} - b_n = (6n - 2) - (6n - 8) = 6n - 2 - 6n + 8 = 6$

$b_{n+1} - b_n$ は定数であるので、数列 $\{b_n\}$ は等差数列である。

その公差は $6$ である。

数列 $\{b_n\}$ の初項は、$b_1 = 6(1) - 8 = 6 - 8 = -2$ である。

3. 最終的な答え

数列 $\{b_n\}$ は等差数列であり、初項は $-2$、公差は $6$ である。