行列 A の (i, j) 成分 $a_{ij}$ が与えられたとき、行列 A を具体的に書き出す問題です。 (1) A は3次の正方行列で、$a_{ij} = (-1)^{i+j}$ (2) A は 3x2 行列で、$a_{ij} = \begin{cases} (-2)^{i-j} + \delta_{ij} & (i < 3) \\ i-j & (i=3) \end{cases}$。 ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタであり、$i = j$ のとき 1, $i \ne j$ のとき 0 です。

1. 問題の内容

行列 A の (i, j) 成分 $a_{ij}$ が与えられたとき、行列 A を具体的に書き出す問題です。

(1) A は3次の正方行列で、$a_{ij} = (-1)^{i+j}$

(2) A は 3x2 行列で、$a_{ij} = \begin{cases} (-2)^{i-j} + \delta_{ij} & (i < 3) \\ i-j & (i=3) \end{cases}$。

ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタであり、$i = j$ のとき 1, $i \ne j$ のとき 0 です。

2. 解き方の手順

(1) 3x3 の行列 A の各成分を $a_{ij} = (-1)^{i+j}$ を用いて計算します。

$a_{11} = (-1)^{1+1} = 1$, $a_{12} = (-1)^{1+2} = -1$, $a_{13} = (-1)^{1+3} = 1$

$a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$, $a_{22} = (-1)^{2+2} = 1$, $a_{23} = (-1)^{2+3} = -1$

$a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$, $a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$, $a_{33} = (-1)^{3+3} = 1$

したがって、行列 A は

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 3x2 の行列 A の各成分を

$a_{ij} = \begin{cases} (-2)^{i-j} + \delta_{ij} & (i < 3) \\ i-j & (i=3) \end{cases}$ を用いて計算します。

$a_{11} = (-2)^{1-1} + \delta_{11} = 1 + 1 = 2$, $a_{12} = (-2)^{1-2} + \delta_{12} = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$

$a_{21} = (-2)^{2-1} + \delta_{21} = -2 + 0 = -2$, $a_{22} = (-2)^{2-2} + \delta_{22} = 1 + 1 = 2$

$a_{31} = 3-1 = 2$, $a_{32} = 3-2 = 1$

したがって、行列 A は

$A = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -2 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$