行列$A$が対称行列、行列$B$が交代行列となるように、$a$, $b$, $c$の値を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 2 & a & -5 \\ b-c & 0 & 3 \\ c & b+c & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a+c & a & -5 \\ b-c & 0 & 3 \\ c & -3 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

行列$A$が対称行列、行列$B$が交代行列となるように、$a$, $b$, $c$の値を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 2 & a & -5 \\ b-c & 0 & 3 \\ c & b+c & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} a+c & a & -5 \\ b-c & 0 & 3 \\ c & -3 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列$A$が対称行列である条件を考えます。対称行列は、転置行列が元の行列と等しい行列です。つまり、$A = A^T$が成り立ちます。このことから、以下の等式が得られます。

* $A_{12} = A_{21}$ より、$a = b-c$

* $A_{13} = A_{31}$ より、$-5 = c$

* $A_{23} = A_{32}$ より、$3 = b+c$

次に、行列$B$が交代行列である条件を考えます。交代行列は、転置行列が元の行列の符号を反転させたものと等しい行列です。つまり、$B = -B^T$が成り立ちます。また、交代行列の対角成分はすべて0である必要があります。このことから、以下の等式が得られます。

* $B_{11} = 0$ より、$a+c = 0$

* $B_{12} = -B_{21}$ より、$a = -(b-c)$

* $B_{13} = -B_{31}$ より、$-5 = -c$

* $B_{23} = -B_{32}$ より、$3 = -(-3)$ （これは常に成り立つ）

上記で得られた方程式を解いて、$a$, $b$, $c$を求めます。

まず、$A$が対称行列である条件から、$c = -5$がわかります。

これを$a = b-c$と$3 = b+c$に代入すると、$a = b - (-5) = b + 5$および$3 = b + (-5)$が得られます。

$3 = b - 5$を解くと、$b = 8$となります。

次に、$a = b + 5$に$b = 8$を代入すると、$a = 8 + 5 = 13$となります。

次に、$B$が交代行列である条件から、$a+c = 0$が得られます。$a = 13$を代入すると、$13 + c = 0$となり、$c = -13$が得られます。また、$-5 = -c$より、$c = 5$が得られます。$A$が対称行列であるという条件から、$c = -5$であるため、$B$が交代行列となることはありません。

しかし、問題文の条件に従うならば、$A$が対称行列になるように、$a,b,c$を定め、その後、$B$が交代行列になるかを確かめるという手順を踏むことになります。

$A$が対称行列になるように、$c = -5$, $b = 8$, $a = 13$です。

このとき、$a + c = 13 - 5 = 8 \neq 0$ なので、行列$B$は交代行列になりません。

$B$が交代行列である条件から、$a+c=0$、$c=5$が分かります。よって、$a=-5$となります。$B_{21} = -a = 5$ より $b-c=5$が成り立ちます。

$A$が対称行列であるためには、$a = b-c$より、$b = a+c = -5+5 = 0$です。また、$3 = b+c$より、$3=0+c$なので、$c=3$です。これは、$c=5$と矛盾します。

問題文に矛盾があるように思われますが、$A$が対称行列となるように、$B$が交代行列になるように、$a, b, c$を求めることはできません。

以下では、$A$が対称行列となるように$a, b, c$を求めることを優先します。

$c = -5$

$b = 3 - c = 3 - (-5) = 8$

$a = b - c = 8 - (-5) = 13$

3. 最終的な答え

$a = 13, b = 8, c = -5$

ただし、このとき、$B$は交代行列にはなりません。