複素数平面上に原点Oと異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ がある。以下の条件(A), (B), (C)を満たすとき、$z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。ただし、条件は以下の通り。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

1. 問題の内容

複素数平面上に原点Oと異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ がある。以下の条件(A), (B), (C)を満たすとき、$z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$を用いて表す。ただし、条件は以下の通り。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

2. 解き方の手順

条件(A)より、$z_1$と$z_2$の偏角の差は$\frac{2}{3}\pi$である。

条件(C)より、$\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形であるので、$z_3$は$z_1$と$z_2$を結ぶ線分を底辺とする正三角形の頂点となる。

$z_3 = az_1 + bz_2$と表せることから、$z_3$は$z_1$と$z_2$の線形結合で表される。条件(B)より、$z_3$は$z_1$と$z_2$を結ぶ直線に関して原点$0$と反対側にあることから、$a,b$はともに正である。

$|z_1|=r_1$, $|z_2|=r_2$とおく。

$z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$とすると、$\theta_1 = \theta_2 + \frac{2}{3}\pi$である。

$z_3$は正三角形の頂点であるから、

$|z_1-z_2| = |z_2-z_3| = |z_3-z_1|$

$|z_1-z_2|^2 = |z_2-z_3|^2 = |z_3-z_1|^2$

$|z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) = |z_1|^2+|z_2|^2-z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2 = r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\frac{2}{3}\pi)=r_1^2+r_2^2+r_1r_2$

$|z_1-z_3|^2 = |z_1 - az_1 - bz_2|^2 = |(1-a)z_1 - bz_2|^2 = (1-a)^2r_1^2+b^2r_2^2 - 2b(1-a)r_1r_2\cos(\frac{2}{3}\pi) = (1-a)^2r_1^2+b^2r_2^2 + b(1-a)r_1r_2$

$|z_2-z_3|^2 = |z_2 - az_1 - bz_2|^2 = |-az_1 + (1-b)z_2|^2 = a^2r_1^2 + (1-b)^2r_2^2 - 2a(1-b)r_1r_2\cos(\frac{2}{3}\pi) = a^2r_1^2+(1-b)^2r_2^2 + a(1-b)r_1r_2$

したがって、

$r_1^2+r_2^2+r_1r_2 = (1-a)^2r_1^2+b^2r_2^2 + b(1-a)r_1r_2 = a^2r_1^2+(1-b)^2r_2^2 + a(1-b)r_1r_2$

この式を解くと、$a=1/2$,$b=1/2$となる。

$z_3 = \frac{1}{2}z_1 + \frac{1}{2}z_2$

このとき、条件Bを満たさないので、$z_3=\frac{1}{2}z_1+\frac{1}{2}z_2$ではない。

正三角形となる別の$z_3$は、 $z_3 = \frac{z_1+z_2}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}(z_2-z_1)$ と表せる。

正三角形の条件から、$z_3 = z_1 + e^{\pm i\frac{\pi}{3}}(z_2 - z_1)$

$z_3 = z_1 + (\cos(\frac{\pi}{3}) \pm i\sin(\frac{\pi}{3}))(z_2 - z_1) = z_1 + (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})(z_2 - z_1)$

$z_3 = z_1 + \frac{1}{2}z_2 - \frac{1}{2}z_1 \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}z_2 \mp i\frac{\sqrt{3}}{2}z_1 = \frac{1}{2}z_1 + \frac{1}{2}z_2 \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(z_2 - z_1)$

$z_3 = (\frac{1}{2} \mp i\frac{\sqrt{3}}{2})z_1 + (\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})z_2$

角度条件より$|z_1| \neq |z_2|$. $z_3=az_1+bz_2$の係数$a$，$b$を求める問題なので、

$z_3=z_1 e^{\pm i\pi/3} + z_2 e^{\mp i \pi/3} = r_1 e^{i\theta_1}e^{\pm i\pi/3} + r_2 e^{i\theta_2}e^{\mp i \pi/3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{|z_1|^2 + |z_1||z_2| \cos{\frac{2}{3}\pi} - |z_2|^2 \pm \sqrt{3}(|z_1|^2 - |z_2|^2)}{|z_1|^2 - 2|z_1||z_2| \cos{\frac{2}{3}\pi} + |z_2|^2}$

$b = \frac{-|z_1|^2 + |z_1||z_2| \cos{\frac{2}{3}\pi} + |z_2|^2 \mp \sqrt{3}(|z_1|^2 - |z_2|^2)}{|z_1|^2 - 2|z_1||z_2| \cos{\frac{2}{3}\pi} + |z_2|^2}$

$a=\frac{|z_1|}{|z_1|+|z_2|} , b=\frac{|z_2|}{|z_1|+|z_2|}$

$a = \frac{|z_2| + |z_1|/2}{\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2+|z_1||z_2|}}$, $b=\frac{|z_1| + |z_2|/2}{\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2+|z_1||z_2|}}$

$a=\frac{1}{2} , b=\frac{1}{2}$

上記のどれかが答えである。

条件(B)より、aとbは負である可能性も考慮すべきなので、その場合、aとbの符号を変えたものも考慮に入れる。

しかし、条件(B)より、aとbは正である必要がある。

回答：

$a = \frac{|z_2|+\frac{|z_1|}{2}-\sqrt{3}/2|z_1|}{\sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|}}$

$b = \frac{|z_1|+\frac{|z_2|}{2}-\sqrt{3}/2|z_2|}{\sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|}}$

が答えです。