$\theta$は鋭角とする。$\cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角とする。$\cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係を利用して$\sin \theta$を求める。

$\cos \theta = \frac{2}{3}$なので、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{5}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$は鋭角なので、$\sin \theta > 0$。

したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta$を求める。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$