円 $x^2 + (y-a)^2 = 25$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるときの定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに $a=1$ のとき、円が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + (y-a)^2 = 25$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるときの定数 $a$ の値の範囲を求め、さらに $a=1$ のとき、円が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + (y-a)^2 = 25$ の中心は $(0, a)$ で、半径は $5$ です。

(2) 円が $x$ 軸と異なる2点で交わるためには、中心と $x$ 軸との距離が半径よりも小さくなければなりません。 中心 $(0, a)$ と $x$ 軸との距離は $|a|$ です。したがって、以下の条件を満たす必要があります。

$|a| < 5$

これは、$-5 < a < 5$ を意味します。

(3) $a=1$ のとき、円の方程式は $x^2 + (y-1)^2 = 25$ となります。円と $x$ 軸との交点を求めるには、$y=0$ を代入します。

$x^2 + (0-1)^2 = 25$

$x^2 + 1 = 25$

$x^2 = 24$

$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$

したがって、円と $x$ 軸との交点は $(2\sqrt{6}, 0)$ と $(-2\sqrt{6}, 0)$ です。

(4) 円が $x$ 軸から切り取る線分の長さは、2つの交点間の距離です。

線分の長さ $= 2\sqrt{6} - (-2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

定数 $a$ の値の範囲：$-5 < a < 5$

$a=1$ のとき、円が $x$ 軸から切り取る線分の長さ：$4\sqrt{6}$