袋の中に赤玉が6個、白玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した白玉の個数の確率分布を表にまとめ、その表を用いて白玉の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が6個、白玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した白玉の個数の確率分布を表にまとめ、その表を用いて白玉の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉の個数の確率分布を求める。

まず、2個の玉を取り出すすべての場合の数を求める。これは9個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、 $_9C_2$ で計算できる。

$_9C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

次に、白玉の個数ごとに確率を計算する。

- 白玉が0個の場合: 2個とも赤玉である確率。赤玉6個から2個を選ぶ組み合わせは $_6C_2$。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

よって、白玉が0個である確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。

- 白玉が1個の場合: 赤玉1個と白玉1個を選ぶ確率。赤玉6個から1個を選ぶ組み合わせは $_6C_1 = 6$。白玉3個から1個を選ぶ組み合わせは $_3C_1 = 3$。よって、赤玉1個と白玉1個を選ぶ組み合わせは $6 \times 3 = 18$。

白玉が1個である確率は $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。

- 白玉が2個の場合: 2個とも白玉である確率。白玉3個から2個を選ぶ組み合わせは $_3C_2$。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

よって、白玉が2個である確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。

(2) 期待値を計算する。

期待値は、$E(X) = \sum x_i p_i$ で計算される。ここで、$x_i$ は白玉の個数、$p_i$ はその確率である。

$E(X) = 0 \times \frac{5}{12} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{12} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 確率分布の表:

| 個数 | 0個 | 1個 | 2個 | 計 |

|------|-------|-------|-------|-----|

| 確率 | 5/12 | 1/2 | 1/12 | 1 |

(2) 白玉の個数の期待値: $\frac{2}{3}$